Patrones ocultos en la naturaleza:
fractales, caos y percolación

Autores: Silvino Kazim, Laura Milena Romero Parada, Arturo Hernandez-Colina y Adrian Guel, Equipo Multidisciplinar para el Estudio de Sistemas Vivos (EMESVI)¹.

En este artículo exploramos las fronteras disciplinarias de las matemáticas, la física, la biología, las ciencias sociales y la filosofía de sistemas complejos, con el fin de encontrar similitudes entre disciplinas. Exploramos los conceptos de fractales, caos y percolación, para revelar patrones que representan afinidades, invitándonos a reflexiones filosóficas sobre la interconexión entre sistemas de diversa naturaleza. Al unir estos campos demostramos la aplicabilidad de las teorías matemáticas; así también, ofrecemos una visión interdisciplinar, que nos invita a una lectura detallada de nuestra vida, y a una comprensión más profunda de la interdisciplinariedad y la filosofía subyacente en la ciencia.

Edición: Equipo Editorial Interdisciplinaria, Diagramación: Paulo González, ¹”Nota biográfica al final del artículo”.

*El idioma original en que está escrito este artículo es español. Mencionamos esto para considerar al utilizar la traducción automática que puede generar algunos errores.

Introducción

En el corazón de las matemáticas y la física existen conceptos que cambian nuestra percepción de la realidad. Entre estos, los fractales, el caos y la percolación son los protagonistas en este texto. Esta exploración comienza con los fractales, figuras geométricas cuya complejidad y autosimilaridad, llevan nuestra mirada hacia el interior de imágenes en las que reconocemos patrones autosimilares que se repiten a diferentes escalas. Luego, nos adentramos en el terreno del caos, un fenómeno que, lejos de ser mero desorden, revela un orden regido por ecuaciones que generan patrones fractales de gran belleza y complejidad. Finalmente, abordamos la percolación, un proceso físico con aplicaciones en campos tan diversos como la biología y las ciencias sociales, conectando los conceptos de fractales y caos en un contexto interdisciplinario. En este artículo exploramos un marco teórico, y destacamos cómo los fractales, el caos y la percolación se aplican en distintos campos, desde la biología hasta la ingeniería. Esto con el fin de mostrar la capacidad de las matemáticas para descifrar la complejidad de la naturaleza, y de sistemas vivos o artificiales, subrayando su interdisciplinariedad.

La belleza de la complejidad

Los fractales, término acuñado por el matemático Benoit Mandelbrot, son entidades geométricas caracterizadas por su autosimilaridad y dimensiones fractales, que ponen bajo escrutinio los conceptos tradicionales de la geometría. En geometría, las cosas son descritas con pocos elementos: círculos, óvalos, triángulos, entre otros. Sin embargo, la naturaleza exhibe formas más complejas que tales descripciones. Por ejemplo, el cerebro humano, conchas y moluscos muestran un patrón de crecimiento similar a fractales. Incluso, las galaxias presentan una complejidad sutil, a medida que se examina a diferentes escalas uno encuentra patrones idénticos, como se muestra en la Figura 1.

Imagen N° 1. Fractales en la Naturaleza: Desde el Caracol hasta la Galaxia
[Imagen generada con IA] DALL-E.

Imagen N° 2. Construyendo una curva que llena el espacio: la curva del copo de nieve de Koch
(tomado de: http://www.complexcity.info/files/2013/12/Figure-8-1.jpg).

  Un ejemplo paradigmático de fractal es la Curva de Koch del copo de nieve de Koch (ver Figura 2) una figura simple que, mediante un proceso iterativo de división y adición, revela una complejidad infinita. Esta curva parte de un segmento recto, dividiéndolo en tercios y añadiendo segmentos para formar una estructura triangular. A medida que se repite este proceso, la longitud de la curva crece exponencialmente, siguiendo una fórmula que demuestra su infinita autosimilaridad (Talanquer, 1996).

  Los pasos para crear una curva de Koch tienen como punto de partida, algo tan sencillo como una línea recta, de longitud 1. Luego hay que jugar con la iteración, es decir, repetir un proceso una y otra vez, como se muestra en los siguientes pasos para la construcción de la Curva de Koch:

1. Iteración 0 (n = 0): Tenemos nuestra línea recta inicial, de longitud 1.

2. Iteración 1 (n = 1): Tomamos esta línea y la dividimos en tres segmentos iguales. El segmento del medio lo reemplazamos por dos segmentos que forman un triángulo equilátero. Al hacer esto, quitamos un tercio de la línea original y agregamos dos tercios del mismo tamaño. Así, la longitud total ahora es 4/3​ .

3. Iteración 2 (n = 2): Ahora, cada uno de estos cuatro segmentos se trata como la línea original. Repetimos el proceso: dividimos cada segmento en tres partes, reemplazamos el segmento del medio con dos segmentos de un triángulo equilátero. Esto nos da 4 × 4 = 16 segmentos, cada uno de 1/9​ de longitud, sumando un total de 16/9​.

4. Iteraciones subsiguientes: Continuamos este proceso. En cada iteración, cada segmento se divide y se transforma, aumentando la cantidad total de segmentos y, por lo tanto, la longitud total de la curva.

  Fórmula de Longitud y Autosimilaridad: La longitud de la curva de Koch en la iteración se puede expresar como (4/3)^n , esto significa que, a medida que n aumenta, la longitud de la curva se hace infinitamente larga. Sin embargo, la curva siempre está contenida dentro de un área finita. En este sentido, lo más impresionante de los fractales, como la curva de Koch, es su autosimilaridad; es decir, si tomas cualquier segmento de la curva y lo amplías, encontrarás la misma forma una y otra vez, sin importar cuánto lo amplíes (Ver “Koch snowflake zoom [Video]”1).Esta propiedad de autosimilaridad recursiva es lo que hace que los fractales sean fascinantes, tal y como se muestra en la representación del copo de nieve en la Figura 3.

1 | Para mayor detalle véase https://revistasdex.uchile.cl/index.php/cdb

Imagen N° 3. Fractales en la Naturaleza: Desde el Caracol hasta la Galaxia
Representación del Copo de Nieve de Koch [Imagen generada con IA] DALL-E.

El principio de los fractales ilustra cómo una regla sencilla puede generar una estructura compleja, un principio presente en muchas estructuras naturales, desde una hoja de helecho, hasta las costas geográficas (Mandelbrot, 1967) (ver Figura 4). Esto ilustra cómo figuras simples pueden esconder realidades complejas o caóticas, con relaciones matemáticas de relevancia para el estudio de fenómenos de distinta naturaleza.

Orden en el Corazón del Desorden: el Caos 

El caos, a menudo malinterpretado como desorden, es en realidad un concepto que describe sistemas dinámicos altamente sensibles a las condiciones iniciales. En sistemas sencillos los cambios mínimos en las condiciones iniciales tienen un impacto limitado, en sistemas más
complejos, como un haz de luz rebotando en espejos, la mínima variación desencadena cambios drásticos. A pesar de ser deterministas, la sensibilidad de estos sistemas a las condiciones iniciales hace que se vuelvan impredecibles a largo plazo, incluso con mediciones precisas de las condiciones iniciales.

“El principio de los fractales ilustra cómo una regla sencilla puede generar una estructura compleja, un principio presente en muchas estructuras naturales, desde una hoja de helecho, hasta las costas geográficas (…) Esto ilustra cómo figuras simples pueden esconder realidades complejas o caóticas, con relaciones matemáticas de relevancia para el estudio de fenómenos de distinta naturaleza”

Imagen N° 4. Representaciones fractales de hojas de helecho, y costas geográficas
[Imagen generada con IA] DALL-E.

  Un ejemplo clásico de un sistema caótico es el llamado Efecto Mariposa, ilustrado por el concepto de Atractor de Lorenz (ver Figura 5a). Este atractor se describe mediante una serie de ecuaciones que modelan la dinámica atmosférica y producen patrones fractales, evidenciando la interconexión entre caos y fractales. Este modelo representa cómo, en sistemas complejos, pequeñas variaciones en las condiciones iniciales de un fenómeno tienen impactos significativos a largo plazo (Talanquer, 1996; Markus, 2007).

    Otro ejemplo de un sistema caótico, que produce patrones fractales, es el conocido conjunto de Mandelbrot (ver Figura 5b). Este conjunto es generado, a través de la iteración, dada por la siguiente función matemática:

   En la fórmula, z y c son números complejos, vale decir, un número que tiene dos partes: una real, y otra imaginaria. La parte imaginaria es representada por bi, y se refiere a una dimensión matemática donde la unidad imaginaria i satisface la propiedad i² = -1, esto permite representar raíces cuadradas de números negativos, un concepto que no tiene equivalente en los números reales. La parte real y la imaginaria suelen ser representadas en la forma z = a + bi, donde a y b son números reales. Aquí, i es la unidad imaginaria (Mendoza, 2001). Esta propiedad es importante para el tema de los fractales, ya que los números complejos dan fractales; debido a que, la iteración (repetición) de la función z_n+1=z²_n + c , en dependencia de los valores iniciales de z y c , da resultados con secuencias que pueden converger a un punto, diverge al infinito, o caer en un ciclo, lo que lleva a la creación de patrones fractales; por otra parte, la iteración con números reales generan bifurcaciones simples, que no producen estructuras auto-similares, como sí sucede en los fractales.

Imagen N° 5.a: El atractor de Lorenz
(tomado de https://photos1.blogger.com/blogger2/4522/78741643644057/1600/3D.jpg)

   El conjunto de Mandelbrot consiste en todos los valores de c para los cuales la secuencia generada por la iteración de la fórmula permanece acotada o no diverge hacia el infinito. Los puntos en el conjunto son representados en el plano complejo, y el color de cada punto se determina por la rapidez con la que la secuencia se aleja hacia el infinito; dicho de otra manera, el conjunto de Mandelbrot es una colección de números que, cuando se usan repetidamente en una operación matemática específica, no resultan en valores tan grandes que no podamos manejar. Estos números se plasman en un mapa llamado plano complejo, donde se les asigna colores según la rapidez con la que crecen los valores resultantes, por ejemplo, colores brillantes para crecimientos rápidos y colores oscuros para los más lentos. Esto crea las imágenes coloridas asociadas con el conjunto de Mandelbrot.

   En el caos, encontramos una estructura subyacente, que se rige por reglas deterministas, pero que es impredecible a largo plazo. Esto tiene implicaciones en áreas como la meteorología, donde modelos caóticos ayudan a entender patrones climáticos, y en la economía, donde la naturaleza impredecible de los mercados refleja características caóticas.

   La formalización del caos se asocia con los exponentes de Lyapunov, que cuantifican la sensibilidad a las condiciones iniciales de un sistema. Estos exponentes dan indicios del carácter caótico de un sistema, reflejando cómo las trayectorias divergen o convergen a lo largo del tiempo (Markus, 2007). Cuando hablamos de formalizar el caos, con “formalizar” nos referimos a traducir la complejidad del caos a un ‘idioma’ matemático que nos permita entenderlo y predecirlo mejor; en este sentido, los exponentes de Lyapunov permiten a los matemáticos saber cómo pequeños cambios en el inicio de algo pueden llevar a diferencias grandes y difíciles de predecir más adelante. Por ejemplo, si alguien lanza una pelota con una dirección y fuerza exactas; en un mundo caótico, un cambio casi imperceptible en el movimiento de la muñeca, al inicio del lanzamiento, podría hacer que la pelota termine en un lugar completamente diferente al esperado. Esto nos permite entender que, en el caos, las cosas que parecen similares al principio pueden terminar siendo muy distintas con el paso del tiempo.

En este orden de ideas, el estudio del caos nos enseña que, incluso en sistemas aparentemente aleatorios, existen patrones y estructuras; a pesar de que son difíciles de predecir, no están fuera del alcance del análisis matemático. El caos, por tanto, no es un laberinto sin salida, sino una puerta a una comprensión más profunda de los fenómenos que nos rodean. Los conceptos de fractales y caos son dinámicos y están ligados a la sensibilidad a las condiciones iniciales, de manera que, nos conducen a explorar otro ámbito fascinante: la percolación.

Imagen N° 5.b: El conjunto de Mandelbrot
(tomado de Mandelbrot set – Wikipedia)

Conectando Complejidades: La Percolación

La percolación es la “transmisión de una perturbación a prácticamente todos los elementos de una red en un sistema conexionista (…) Unos ejemplos típicos son el fuego, los rumores y las enfermedades.” (González Nalda, 2008). Dicho de otra manera, la percolación es el estudio de cómo las cosas se conectan dinámicamente en un nivel físico y abstracto.” (González Nalda, 2008). La percolación es un fenómeno que estudia cómo los elementos en un sistema se conectan o “percolan” a través de él, formando caminos o redes. Originado en la física, este concepto se ha expandido a numerosos campos, ilustrando cómo pequeñas interacciones pueden llevar a grandes cambios.

Imagen N° 6: El Caos del Efecto Mariposa [Imagen generada con IA] DALL-E

El concepto “percolación” se origina en el ciclo hidrológico, específicamente en la percolación de agua desde un lago hacia las napas subterráneas. Un ejemplo clásico es el movimiento de un líquido que se filtra a través de un material poroso y desordenado, como cuando el agua se abre camino entre las rocas y la tierra (Bollobás y Riordan, 2009). Aunque gran parte del agua se aísla, una fracción se filtra a través de la tierra, humedeciéndola y alcanzando finalmente las capas de agua subterránea. Esta dinámica también se observa en rellenos sanitarios; si no se aíslan adecuadamente, los líquidos de la basura pueden filtrarse hacia las napas subterráneas, contaminando el agua utilizada para el riego (ver Figura 7).

Imagen N° 7: La imagen ilustra la dinámica de filtración en un relleno sanitario mal aislado,
mostrando cómo los líquidos de la basura pueden contaminar las napas subterráneas
[Imagen generada con IA] DALL-E.

   La percolación también se aplica en las ciencias sociales, ayudando a entender la formación de opiniones o movimientos sociales. De manera similar a una red, en una sociedad, donde la influencia y las conexiones con individuos poderosos son cruciales, las personas con conexiones sólidas y estratégicas pueden progresar rápidamente; por otra parte, las demás enfrentan un camino difícil y limitado para avanzar (Sahimi, 2021).

    Para comprender la percolación, se recurre a la formalización (reglas de orden para estructurar ideas) mediante la representación de grafos (estructuras interconectadas que representan relaciones entre puntos, también llamados nodos). Estos nodos conectados definen los clusters. Los cluster son un conjunto de sitios conectados (Berkowitz y Balberg,1993) aunque también pueden representar a personas conectadas, siendo la percolación el estudio de los caminos entre estas estructuras, ya sean sociales o físicas, que están interconectadas. Se establece un parámetro crítico que define la conectividad mínima para permitir la percolación en sistemas modelados (sistemas que son una representación de la realidad) probabilísticamente.

La teoría de la percolación analiza cómo los cambios en estos parámetros afectan la conectividad. Lo que sugiere que en sistemas complejos como la web o redes neuronales, todo está conectado indirectamente, a través de caminos.

Imagen N° 8: Representación de redes de conexiones [Imagen generada con IA] DALL-E.

  Al estudiar las conexiones entre estructuras, la percolación aporta una visión profunda sobre la conectividad en sistemas físicos y abstractos. Su análisis en grafos, la consideración de parámetros críticos y su relación con la resiliencia y los fractales ofrecen perspectivas valiosas para comprender la complejidad de los sistemas en diversos campos.

La interrelación entre fractales, caos y percolación revelan un mapa interesante de conexiones y patrones emergentes en sistemas de diversa naturaleza. Los fractales, con su estructura autosemejante a distintas escalas, ofrecen un marco visual para comprender la recursividad y la complejidad inherente en los fenómenos naturales y artificiales, ofreciendo un lenguaje visual para la recursividad estructural. Mientras que, el caos plantea la incertidumbre inherente
en sistemas dinámicos y la percolación desentraña la trama de conexiones que subyacen a fenómenos aparentemente dispares.

EMESVI: Una Mirada Interdisciplinaria

EMESVI (Equipo Multidisciplinario para el Estudios de Sistemas Vivos) es un grupo de investigación y colaboración interdisciplinaria conformado por amistades. El enfoque de emesvi se centra en la exploración de sistemas vivos. La investigación interdisciplinaria tiene como objeto comprender la complejidad de los sistemas naturales y artificiales. En relación con nuestro artículo sobre Fractales, Caos y Percolación, emesvi ha desempeñado un papel fundamental al proporcionar modos de comprensión diferentes que destacan la complejidad de la naturaleza. La colaboración con el Dr. Adrian Josue Guel Cortez, miembro destacado de emesvi, ha permitido una integración única de la física y la matemática en nuestro artículo, resaltando la importancia de la interdisciplinariedad en la comprensión de la complejidad de la vida.

Imagen N° 9: Relámpagos y otras figuras fractales en la naturaleza
[Imagen generada con IA] DALL-E.

  Al estudiar las conexiones entre estructuras, la percolación aporta una visión profunda sobre la conectividad en sistemas físicos y abstractos. Su análisis en grafos, la consideración de parámetros críticos y su relación con la resiliencia y los fractales ofrecen perspectivas valiosas para comprender la complejidad de los sistemas en diversos campos.

La interrelación entre fractales, caos y percolación revelan un mapa interesante de conexiones y patrones emergentes en sistemas de diversa naturaleza. Los fractales, con su estructura autosemejante a distintas escalas, ofrecen un marco visual para comprender la recursividad y la complejidad inherente en los fenómenos naturales y artificiales, ofreciendo un lenguaje visual para la recursividad estructural. Mientras que, el caos plantea la incertidumbre inherente
en sistemas dinámicos y la percolación desentraña la trama de conexiones que subyacen a fenómenos aparentemente dispares.

Conclusiones

Este artículo resalta la relevancia de los fractales, el caos y la percolación; no sólo como conceptos teóricos, sino como herramientas fundamentales en la comprensión de los fenómenos de la vida cotidiana y la investigación actual. La autosimilaridad de los fractales se refleja en la estructura de fenómenos naturales y artificiales, desde formaciones geológicas hasta estructuras sociales, ofreciendo una perspectiva para el análisis de datos en áreas como la ecología. La impredecibilidad estructurada del caos, por otro lado, permite entender sistemas climáticos, destacando la importancia de las condiciones iniciales en la predicción de eventos a largo plazo. Finalmente, la percolación ilustra cómo las conexiones en redes, ya sean redes sociales, biológicas o tecnológicas, pueden influir en la propagación de información, subrayando su importancia en el análisis de sistemas interconectados. Estos conceptos nos invitan a explorar preguntas y futuros retos en el campo, abriendo caminos hacia una comprensión más profunda de la complejidad inherente en nuestro mundo.EMESVI (Equipo Multidisciplinario para el Estudios de Sistemas Vivos).

Agradecimientos

Queremos expresar nuestro agradecimiento al profesor Tomás Veloz. Sus clases en el Instituto de Filosofía y Ciencias de la Complejidad (ificc) proporcionaron fundamento e inspiración invaluable para la creación de este artículo. Un sincero agradecimiento, también, a todas las personas que han contribuido a la profundización y difusión del conocimiento científico. Su trabajo es una fuente de inspiración y un recordatorio del poder de la curiosidad científica y la colaboración interdisciplinaria.

Referencias

Batty, M. (s.f.). Constructing a space-filling curve: The Koch snowflake curve [Figura 2]. Complexity Labs.
http://www.complexcity.info/chapter-8-figures/

Berkowitz, B., y Balberg, I. (1993). Percolation theory and its application to groundwater hydrology. Water Resources Research, 29(4), 775-794.

Bollobás, B., y Riordan, O. (2009). Percolation. Cambridge University Press.

González Nalda, P. (2008). Navegación mediante evolución de redes neuronales recurrentes y dinámicas [Tesis doctoral, Universidad del País Vasco]. Repositorio de la Universidad del País Vasco.

Kitabapita. (2021). Koch snowflake zoom [Video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=PKbwrzkupaU

Mandelbrot, B. (1967). How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension. Science, 156 (3775), 636-638.

Markus, M. (2007). Charts For Prediction And Chance: Dazzling Diagrams on Your PC. World Scientific.

Mendoza, F. R. (2001). Una introducción a los números complejos. Departamento de Matemáticas, Universidad de los Andes, Mérida-Venezuela.

Sahimi, M., & Hunt, A. G. (Eds.). (2021). Complex media and percolation theory. Springer Nature.

Talanquer, V.(1996). Fractus, fracta, fractal. FCE-Fondo de Cultura Económica.

Miembros del Equipo Multidisciplinar para el Estudio de Sistemas Vivos:
EMESVI