Arte y números primos

Autor: Nicolás Piña

Los números también pueden ser arte. Este artículo explora cómo las matemáticas pueden despojarse de su rigidez para mostrarnos un lado más creativo. A través de obras de artistas como Esther Ferrer y Anthony Hill, descubrimos cómo los números primos se transforman en color, forma y movimiento. Al revelar sus patrones ocultos, descubrimos que la belleza también puede expresarse en el lenguaje de los números.

Edición: Equipo Editorial Interdisciplinaria, Diagramación: Pilar Trillo, ¹”Nota biográfica al final del artículo”.

   El idioma original en que está escrito este artículo es español. Mencionamos esto para considerar al utilizar la traducción automática que puede generar algunos errores.

Introducción

      El arte  y las matemáticas siempre han estado estrechamente vinculadas, donde la idea de simetría, fractalidad, proporciones, figuras y cuerpos geométricos ha dado estructura a obras del arte clásico. Sin embargo, en el arte contemporáneo, este diálogo ha evolucionado: hoy los artistas incorporan abstracciones matemáticas, como la de los números primos. Ejemplos notables son la artista performática española Esther Ferrer, quien ha dado forma a los números primos en su serie “Poema de los números primos” (Ferrer, s/f), y el pintor y matemático británico Anthony Hill, quien también ha utilizado los números primos gemelos en una de sus obras de arte.

      Para apreciar la belleza matemática de estas obras, es necesario adentrarse en conceptos como los números primos, los primos gemelos, la espiral de Ulam y las lagunas de números primos.

Números naturales

“Los números naturales fueron creados por Dios, todo lo demás es obra de los hombres” (Kronecker, 1886).

      Los números naturales son los primeros números que aprendemos en la escuela cuando somos niños. Posiblemente, son nuestro primer acercamiento a las matemáticas y los utilizamos en una edad temprana para contar. Así, los números 1, 2, 3, 4,… se vuelven intuitivos y naturales.

     En un principio, los más pequeños asocian los números naturales con entidades de nuestro entorno; la palabra “uno” se utiliza para referirse a un lápiz, una pelota o cualquier entidad única. Sin embargo, los números no son entidades que se encuentren en la naturaleza, sino que son abstracciones que trascienden la realidad material; los números existen más allá de lo concreto, pero son herramientas fundamentales para ordenar y entender el mundo en que vivimos.

     En el contexto de los números naturales, coexisten dos posturas que son irreconciliables, pero ambas igualmente válidas: hay quienes consideran al cero dentro del conjunto de los números naturales y otros que se resisten a incluirlo. Este debate carece de solución única, pues ambas posturas son consistentes con las bases matemáticas para expresar estos números, tales como los axiomas de Peano o la construcción de Von Neumann de los números naturales, por lo que la elección entre una convención u otra depende del contexto matemático específico, la preferencia personal del matemático/a de turno y las necesidades de cada subárea de estudio.

“ (…) los números no son entidades que se encuentren en la naturaleza, sino que son abstracciones que trascienden la realidad material; los números existen más allá de lo concreto, pero son herramientas fundamentales para ordenar y entender el mundo en que vivimos”.

Números primos

       La primalidad revela la estructura <<atómica>> de los números.

      Para comprender a qué me refiero con la afirmación anterior, primero es necesario definir qué son los números primos. Un número primo es un número natural mayor que 1 que se puede dividir solo por 1 y por sí mismo. En otras palabras, son números enteros positivos mayores que 1 con exactamente dos factores: 1 y el número mismo. Por ejemplo, el número 2 es un número primo, ya que este número es divisible solo por 1 y por sí mismo. En cambio, el 9 admite un divisor adicional: el número 3.

     La sucesión de los números primos comienza de esta manera

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…}

      Esta lista de números es infinita. La primera prueba que se tiene registro de la infinidad de los números primos se debe a Euclides, quien en la proposición 20 del libro IX de su obra “Los Elementos”, proporciona una prueba formal de que los números primos no tienen fin. En la actualidad existen muchas pruebas que confirman lo probado por Euclides (Rodríguez San Emeterio, 2017).

      Volvamos a la afirmación inicial, ¿qué quiere decir que los números primos revelan una estructura atómica? Estos números son los bloques fundamentales para construir todos los demás números naturales (incluso los enteros). El enunciado que justifica esta afirmación está dado por el Teorema fundamental de la aritmética (TFA), el cual, en términos simples, nos dice que: “Todo número entero positivo mayor que 1 puede escribirse como producto de números primos, y esta descomposición es única”.

     Por ejemplo, el número no primo 54 se puede escribir como la multiplicación 2 x 3 x 3 x 3, en donde cada factor es un número primo. El 1453 es un número no primo, ya que se puede escribir como producto de los primos 7, 11 y 19.

    Es como si los primos fueran los “átomos” de los números enteros positivos mayores que 1: no pueden dividirse más (en factores enteros), y cualquier número se construye con ellos de una única manera.

Espiral de Ulam

     Poco se sabe sobre la distribución de los números primos y, sin embargo, estos números pueden presentar regularidades asombrosas. Un ejemplo fascinante es la espiral del matemático polaco Stanislaw Ulam: la espiral de Ulam.

       Esta espiral se construye de la siguiente manera: toma una cuadrícula de cualquier tamaño deseado, y en la parte central se coloca el número 1. Luego, organiza los números naturales en forma de espiral en el sentido antihorario (u horario). Dado que los números primos suceden de manera irregular (hasta lo que sabemos), uno podría esperar que estos números no revelen ningún patrón dentro de la espiral. Sin embargo, al pintar los números primos se forman líneas diagonales, como se puede ver en la Figura 2. Estos inesperados patrones sugieren que, incluso en el aparente desorden de los primos, subyacen ciertas regularidades.

“Poco se sabe sobre la distribución de los números primos y, sin embargo, estos números pueden presentar regularidades asombrosas”.

Los números primos en el arte

     Los números primos no solo han inspirado teoremas o conjeturas matemáticas, sino que también a los artistas. La artista española Esther Ferrer ha explorado esta conexión en su serie: “Poema de números primos”, desarrollada desde los años 80. Dentro de esta colección se destaca un borrador creado entre 1983-1985 que consiste en un dibujo de 17 x 17 cm hecho con lápices de colores azul y rojo sobre papel cuadriculado (ver Figura 3).

     Tomando como inspiración este bosquejo, Ferrer presenta su obra “Números primos”; una obra de grandes dimensiones ubicada en la plaza interna del Museo Artium de la provincia de Álava del País Vasco. “Números primos” es una pieza mosaica instalada en el suelo de unos 14 metros de largo integrada por más de 10.000 piezas de cerámica, en la que Ferrer trabaja con la seriación de números primos, un tema recurrente en su producción (Barco, 2023). Esta pieza artística combina tres conceptos matemáticos: los números primos, las lagunas entre ellos y la espiral de Ulam.

      La inspiración para la serie surgió en un sueño en el que Esther nadaba en un mar de números de color azul. Al despertar, en un principio creyó que los números que soñó eran impares, pero luego reparó que se trataba efectivamente de los números primos. De ese sueño es que surge la creación de sistemas visuales que invitan al espectador a explorar la poesía y el ritmo de los números primos (Galería ángels barcelona, 2022).

      Volviendo al bosquejo de la Figura 3, te cuento cómo fue que Esther Ferrer llevó a cabo su obra para que puedas realizar tu propia versión en casa.

      Primero, se construye una espiral de Ulam hasta el 256. Luego, se deja visible sólo el 1 y los números primos, ya que en el lugar de los números compuestos se dejan espacios vacíos.

Figura N° 3.  Bosquejo realizado por Esther Ferrer de la serie “Poema de números primos”.

     Dejemos la espiral por un momento y ahora veamos cómo se generan las diagonales de colores. Para esto, se tacha el primer número compuesto (el primer espacio en blanco de la parte derecha de la Figura 4) con una diagonal hacia la izquierda de color rojo. Si el siguiente es compuesto, se sigue con la misma diagonal (ver Figura 5).

     En el caso de que sea primo, el siguiente número compuesto se tacha con una diagonal hacia la derecha de color azul. Y así seguimos con los siguientes números compuestos (ver Figura 5).

Figura N° 5.  Dibujo de las diagonales con dos compuestos seguidos (izquierda) y de las diagonales cuando se interpone un número primo entre dos compuestos (derecha).

     Vamos a lo concreto…

    Comenzamos tachando el primer compuesto mayor a 1 con una diagonal roja. Ahora, como el siguiente número es primo, pasamos al compuesto que le sigue y tachamos con la diagonal azul. Luego, como siete es primo y pasamos a tachar el siguiente compuesto con la diagonal roja y todos los compuestos que le siguen hasta llegar a un primo. Y así con todos los números compuestos.

Figura N° 7.  Obra “Números primos” por Esther Ferrer expuesta en el Museo Artium.

     Existe también otro artista que ha utilizado los números primos para la creación de una pieza artística: el británico Anthony Hill. Hill utilizó la distribución de los números primos y compuestos entre uno y cien para determinar la altura y disposición de las tiras de plástico laminadas reflectantes en blanco y negro en su obra Prime Rhythms (Sainsbury Centre, s/f).

Figura N° 8.  Obra “Prime Rhythms” realizada por Anthony Hill (1930-2020) de dimensiones 91.5 x 91.5 x 1.9 cm (Hill, 1977).

     Esta obra utiliza los números primos, aunque más en concreto, los números primos gemelos. Sin embargo, antes de analizar la obra, recordemos qué son los primos gemelos.

      Dos números primos (p, q) son primos gemelos si están separados por una distancia de 2, es decir, si q = p + 2. El primero en llamarlos así fue el matemático alemán Paul Stäckel (1862 − 1919) (Barrero Angulo, 2013).

       Las primeras parejas de números primos gemelos son:

(3, 5); (5, 7); (11, 13); (17, 19)

     A medida que vamos considerando números primos cada vez más grandes, la aparición de parejas de primos gemelos disminuye, sin embargo, computacionalmente se ha visto que siguen apareciendo estas parejas.

      Con todo esto claro, volvamos a la pieza artística de Anthony Hill y veamos cómo la construyó. Para esto, se trazan 50 líneas horizontales equidistantes y se cortan por el centro con una línea vertical. Luego, se etiqueta cada línea con un número impar siguiendo las siguientes reglas:

– Los números impares primos estarán ubicados a la izquierda.

– Los números impares no primos estarán ubicados a la derecha.

Figura N° 9.  Posición de los números primos impares e impares no primos en líneas horizontales.

    Ahora, tomemos la lista de los números primos gemelos, considerando al 1 como primo. Con esto, los primos gemelos son las parejas:

(1, 3); (3, 5); (5, 7); (11, 13); (17, 19)

     También consideremos los números impares no primos gemelos, que son aquellos impares no primos que están a una distancia de 2 unidades. En nuestra construcción, solo tenemos el par (25, 27).

    Lo que sigue es unir los vértices de las líneas horizontales asociadas a primos y no a primos gemelos, tal como se muestra en la siguiente imagen:

    Para que nuestra obra se vea de manera similar a la pieza de Hill, debemos eliminar los números y las líneas. De esta forma nos queda una recreación reducida de “Prime Rhythms”. Claro, si quieres hacer una réplica exacta, debemos considerar 50 líneas horizontales y los números impares del 1 al 99.

Figura N° 12.  Versión reducida de la obra “Prime Rhythms” de Anthony Hill. Fuente: elaboración propia.

Epílogo

    A modo de conclusión, es imperativo dar cuenta de que las matemáticas trascienden su función utilitarista para consolidarse como una de las formas más puras de creación. De acuerdo con la visión constructivista, esta disciplina conforma un lenguaje simbólico que cambia y evoluciona con el tiempo como una práctica humana situada (con historia, cultura, poder y lenguaje) donde la creatividad es el motor fundamental que nos permite entender nuestro entorno. Las obras de Esther Ferrer y Anthony Hill demuestran que la visualización artística no es sólo un ejercicio estético, sino un mecanismo para externalizar y dotar de visibilidad a estas entidades abstractas que nacen de nuestros acuerdos y sistemas formales.

      Este diálogo nos invita a reflexionar y expandir nuestra visión sobre el vínculo entre ambas disciplinas, superando las convenciones tradiciones que suelen limitarse a las figuras y cuerpos geométricos, sucesión de Fibonacci o el número de oro. Al trabajar con conceptos con mayor carga abstracta, como el concepto de número primo, primos gemelos y la espiral de Ulam, se vislumbra una unión entre el rigor aritmético y el lienzo en blanco que da lugar formas magníficas, evidenciando la capacidad humana de generar estructuras con sentido y belleza.

     De esta manera, al combinar la creatividad con las propiedades de las entidades matemáticas, es posible transformar abstracciones numéricas en magníficas obras artísticas. Estas piezas no solo decoran espacios, sino que nos invitan a reflexionar sobre el vínculo entre las matemáticas y el arte; entre la abstracción y la belleza visual.

Referencias

– Barco, P. (2023, 26 de Octubre). El mosaico Números Primos de Esther Ferrer en Artium. Noticias de Gipuzkoa. Recuperado de: https://www.noticiasdegipuzkoa.eus/fotos/2023/10/26/mosaico-numeros-primos-esther-ferrer-7432966.html#foto=1

– Barrero Angulo, E. L. (2013). La conjetura de los primos gemelos en un mundo paralelo al mundo de los números enteros [Tesis de maestría, Universidad Nacional de Colombia]. Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas. https://bffrepositorio.unal.edu.co/server/api/core/bitstreams/7cf74e4e-e805-4aef-ab76-3d51b9a98c9b/content

– Ferrer, E. (s. f.). Poema de los números primos (rojo, verde, azul y rosa). Àngels Barcelona. Recuperado de: http://angelsbarcelona.com/en/artists/esther-ferrer/projects/poema-de-los-numeros-primos-rojo-verde-azul-y-rosa/1392

– Galeria àngels barcelona. (2022, 26 de Octubre). Conversación entre Esther Ferrer y Claudia Segura, Poemas de los números primos. YouTube. Conversación entre Esther Ferrer y Claudia Segura, Poemas de los números primos.

– Hill, Anthony. “A View of Non-figurative Art and Mathematics and an Analysis of a Structural Relief.” Leonardo, vol. 10 no. 1, 1977, p. 7-12. Project MUSE. Recuperado de: https://muse.jhu.edu/article/598470

– Rodríguez San Emeterio, C. (2017). Demostrando la infinitud de los números primos [Trabajo de fin de grado, Universidad de Cantabria]. Facultad de Ciencias. https://matematicasiesoja.wordpress.com/wp-content/uploads/2020/09/rodriguez-san-emeterio-carlos.pdf

– Sainsbury Centre (s/f). 31602 – Prime Rhythms. Recuperado de: https://sainsburycentre.ac.uk/art-and-objects/31602-prime-rhythms/